Найдите значение выражения \( \frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{1}{2-\sqrt{3}} \)

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

Общий знаменатель: \( (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 \).

Теперь приведём каждую дробь к общему знаменателю:

\( \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3} \)

\( \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{1} = 2+\sqrt{3} \)

Теперь сложим полученные выражения:

\( (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 4 \)

Ответ: 4