Найдите значение выражения $$(b + 4)^2 - (b + 1)^2$$ при $$b = -\frac{1}{6}$$.

Решение:

1. Сначала упростим выражение, используя формулу разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), где \(a = b+4\) и \(b = b+1\): \[ (b + 4)^2 - (b + 1)^2 = ((b+4) - (b+1))((b+4) + (b+1)) \]
2. Выполним вычисления внутри скобок: \[ ((b+4 - b - 1)(b+4 + b+1)) = (3)(2b+5) \]
3. Раскроем скобки: \[ 3(2b+5) = 6b + 15 \]
4. Теперь подставим значение \(b = -\frac{1}{6}\) в упрощённое выражение: \[ 6 \left(-\frac{1}{6}\right) + 15 \]
5. Выполним умножение: \[ 6 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -1 \]
6. И окончательно сложим: \[ -1 + 15 = 14 \]

Ответ: 14