Найдите значение выражения \( (4b)^2 : b^6 - b^4 \) при \( b = 64 \).

Решение:

Сначала упростим выражение:

\( (4b)^2 : b^6 - b^4 = (16b^2) : b^6 - b^4 \)

\( = \frac{16b^2}{b^6} - b^4 \)

\( = 16b^{2-6} - b^4 \)

\( = 16b^{-4} - b^4 \)

\( = \frac{16}{b^4} - b^4 \).

Теперь подставим значение \( b = 64 \).

\( 64 = 2^6 \).

\( b^4 = (2^6)^4 = 2^{24} \).

\( \frac{16}{b^4} = \frac{2^4}{2^{24}} = 2^{4-24} = 2^{-20} \).

Тогда выражение становится:

\( 2^{-20} - 2^{24} \).

Это очень маленькое положительное число, вычитаемое из очень большого положительного числа.

\( 2^{24} = (2^{10})^2 \cdot 2^4 \approx (10^3)^2 \cdot 16 = 10^6 \cdot 16 = 16,000,000 \).

\( 2^{20} = (2^{10})^2 \approx (10^3)^2 = 10^6 \).

\( 2^{-20} = \frac{1}{2^{20}} \) — очень маленькое число, близкое к нулю.

\( \frac{16}{64^4} - 64^4 \)

\( = \frac{16}{(2^6)^4} - (2^6)^4 = \frac{2^4}{2^{24}} - 2^{24} = 2^{-20} - 2^{24} \).

\( 2^{24} = 16777216 \).

\( 2^{-20} = \frac{1}{1048576} \approx 0.00000095 \).

\( 0.00000095 - 16777216 \approx -16777215.999999 \).

Ответ: -16777216.