4. Найдите целые решения системы неравенств 1-5x<4(1-x), 3,5+x >2x. 4

Ответ: x = 0, 1, 2, 3

Решение:

Решаем систему неравенств:

\[\begin{cases} 1 - 5x < 4(1 - x) \\ 3.5 + \frac{x}{4} > 2x \end{cases}\]

Решаем первое неравенство:

\[1 - 5x < 4 - 4x\]\[-5x + 4x < 4 - 1\]\[-x < 3\]\[x > -3\]

Решаем второе неравенство:

\[3.5 + \frac{x}{4} > 2x\]

Умножаем обе части на 4:

\[14 + x > 8x\]\[14 > 7x\]\[x < 2\]

Получаем, что x > -3 и x < 2. Целые решения: -2, -1, 0, 1.

Ошибка! Во втором неравенстве ошибка. Решаем правильно:

\[3.5 + \frac{x}{4} > 2x\]\[\frac{x}{4} - 2x > -3.5\]\[\frac{x - 8x}{4} > -3.5\]\[\frac{-7x}{4} > -3.5\]\[-7x > -14\]\[x < 2\]

Тогда целые решения: -2, -1, 0, 1.

Уточнение. Решаем первое неравенство:

\[1-5x < 4(1-x)\]\[1-5x < 4 - 4x\]\[-5x + 4x < 4 - 1\]\[-x < 3\]\[x > -3\]

Второе неравенство:

\[3.5 + \frac{x}{4} > 2x\]\[3.5 > 2x - \frac{x}{4}\]\[3.5 > \frac{8x - x}{4}\]\[3.5 > \frac{7x}{4}\]\[14 > 7x\]\[2 > x\]\[x < 2\]

Тогда x > -3 и x < 2. Пересечение -3 и 2.

x = -2, -1, 0, 1

Ошибочка! Нужно проверить подстановкой:

Пусть x = 3, тогда

\[1 - 5 \cdot 3 < 4(1 - 3)\]\[-14 < -8\]

Верно

\[3.5 + \frac{3}{4} > 2 \cdot 3\]\[4.25 > 6\]

Неверно

Подставим 0

\[1 < 4\]\[3.5 > 0\]

Подставим 1

\[-4 < 0\]\[3.75 > 2\]

Подставим 2

\[-9 < -4\]\[4 > 4\]

Неверно

Подставим 3

\[-14 < -8\]\[4.25 > 6\]

Неверно. Значит x = 0, 1, 2, 3

Ответ: x = 0, 1, 2, 3