Найдите точку минимума функции y = 1/3 * x * √x - 3x + 59.

Привет! Давай найдем точку минимума этой функции.

Дано:

• Функция: \( y = \frac{1}{3}x\sqrt{x} - 3x + 59 \)

Решение:

1. Перепишем функцию в более удобном виде: \( x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2} \).

\( y = \frac{1}{3}x^{3/2} - 3x + 59 \)

2. Найдем производную функции: Чтобы найти точку минимума, нам нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю.

\( y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^{3/2} - 3x + 59\right) \)

\( y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{(3/2 - 1)} - 3 \)

\( y' = \frac{1}{2}x^{1/2} - 3 \)

\( y' = \frac{1}{2}\sqrt{x} - 3 \)

3. Приравняем производную к нулю и найдем x:

\( \frac{1}{2}\sqrt{x} - 3 = 0 \)

\( \frac{1}{2}\sqrt{x} = 3 \)

\( \sqrt{x} = 6 \)

\( x = 6^2 \)

\( x = 36 \)

4. Проверим, является ли найденная точка минимумом: Для этого нужно посмотреть на знак второй производной или на знак первой производной слева и справа от точки \( x = 36 \).

Рассмотрим знак \( y' = \frac{1}{2}\sqrt{x} - 3 \):

• Если \( x < 36 \) (например, \( x = 4 \)), то \( y' = \frac{1}{2}\sqrt{4} - 3 = \frac{1}{2}\cdot 2 - 3 = 1 - 3 = -2 \) (функция убывает).
• Если \( x > 36 \) (например, \( x = 49 \)), то \( y' = \frac{1}{2}\sqrt{49} - 3 = \frac{1}{2}\cdot 7 - 3 = 3.5 - 3 = 0.5 \) (функция возрастает).

Так как производная меняет знак с минуса на плюс, в точке \( x = 36 \) находится минимум.

Ответ: 36