На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F(x) = x³ + 30x² + 305x - 7/5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Привет! Давай разберемся с этой задачей на площадь фигуры по графику.

Дано:

• Первообразная функция: \( F(x) = x^3 + 30x^2 + 305x - \frac{7}{5} \)
• Закрашенная фигура находится в пределах от \( x = -11 \) до \( x = -9 \) (судя по оси абсцисс на графике).

Решение:

Площадь закрашенной фигуры можно найти как определенный интеграл от функции \( f(x) \) по промежутку от \( -11 \) до \( -9 \). Мы знаем, что \( F(x) \) — это первообразная для \( f(x) \), поэтому \( f(x) = F'(x) \).

1. Найдем функцию \( f(x) \) как производную от \( F(x) \):

\( f(x) = F'(x) = \frac{d}{dx}\left(x^3 + 30x^2 + 305x - \frac{7}{5}\right) \)

\( f(x) = 3x^2 + 60x + 305 \)

2. Найдем площадь фигуры, вычислив определенный интеграл:

Площадь \( S = \int_{-11}^{-9} f(x) dx = \int_{-11}^{-9} (3x^2 + 60x + 305) dx \)

Площадь \( S = F(-9) - F(-11) \)

3. Вычислим \( F(-9) \):

\( F(-9) = (-9)^3 + 30(-9)^2 + 305(-9) - \frac{7}{5} \)

\( F(-9) = -729 + 30(81) - 2745 - 1.4 \)

\( F(-9) = -729 + 2430 - 2745 - 1.4 \)

\( F(-9) = 1701 - 2745 - 1.4 \)

\( F(-9) = -1044 - 1.4 \)

\( F(-9) = -1045.4 \)

4. Вычислим \( F(-11) \):

\( F(-11) = (-11)^3 + 30(-11)^2 + 305(-11) - \frac{7}{5} \)

\( F(-11) = -1331 + 30(121) - 3355 - 1.4 \)

\( F(-11) = -1331 + 3630 - 3355 - 1.4 \)

\( F(-11) = 2299 - 3355 - 1.4 \)

\( F(-11) = -1056 - 1.4 \)

\( F(-11) = -1057.4 \)

5. Найдем площадь:

\( S = F(-9) - F(-11) = (-1045.4) - (-1057.4) \)

\( S = -1045.4 + 1057.4 \)

\( S = 12 \)

Ответ: 12