12. Найдите точку максимума функции y=(x+3)².e⁴⁻ˣ.

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю и решить уравнение. Затем определить знак производной слева и справа от полученных точек. Если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то это точка максимума.

Найдем производную функции:

$$y' = ((x+3)^2 \cdot e^{4-x})' = ((x+3)^2)' \cdot e^{4-x} + (x+3)^2 \cdot (e^{4-x})' = 2(x+3) \cdot e^{4-x} + (x+3)^2 \cdot e^{4-x} \cdot (-1) = e^{4-x} (2(x+3) - (x+3)^2) = e^{4-x} (2x+6 - (x^2+6x+9)) = e^{4-x} (2x+6 - x^2-6x-9) = e^{4-x}(-x^2-4x-3)$$

Приравняем производную к нулю:

$$e^{4-x}(-x^2-4x-3) = 0$$

Так как $$e^{4-x}$$ всегда больше нуля, то:

$$-x^2-4x-3 = 0$$ $$x^2+4x+3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16-12 = 4$$ $$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-4+2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-4-2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Найдены две точки: x = -1 и x = -3. Проверим знак производной на интервалах:

• x < -3: например, x = -4. y' = e^(4-(-4))(-(-4)^2 - 4(-4) - 3) = e^8(-16+16-3) = -3e^8 < 0
• -3 < x < -1: например, x = -2. y' = e^(4-(-2))(-(-2)^2 - 4(-2) - 3) = e^6(-4+8-3) = e^6 > 0
• x > -1: например, x = 0. y' = e^(4-0)(-0^2-4*0-3) = -3e^4 < 0

Производная меняет знак с плюса на минус в точке x = -1, значит, x = -1 - точка максимума.

Ответ: -1