Найдите пятнадцатый член геометрической прогрессии (bn), если b5 = -1/4 и b10 = 8.

Ответ: 512

Разбираемся:

Шаг 1: Записываем формулу для b10 через b5 и q:

\[b_{10} = b_5 \cdot q^{10-5}\]

Шаг 2: Подставляем известные значения:

\[8 = -\frac{1}{4} \cdot q^5\]

Шаг 3: Выражаем q^5:

\[q^5 = -32\]

Шаг 4: Находим q:

\[q = \sqrt[5]{-32} = -2\]

Шаг 5: Записываем формулу для b5 через b1 и q:

\[b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}\]

Шаг 6: Выражаем b1:

\[b_1 = \frac{b_5}{q^4}\]

Шаг 7: Подставляем известные значения:

\[b_1 = \frac{-\frac{1}{4}}{(-2)^4} = \frac{-\frac{1}{4}}{16} = -\frac{1}{64}\]

Шаг 8: Находим b15:

\[b_{15} = b_1 \cdot q^{15-1}\]\[b_{15} = -\frac{1}{64} \cdot (-2)^{14} = -\frac{1}{64} \cdot 16384\]\[b_{15} = -256 \cdot (-2)\]\[b_{15} = 512\]

Ответ: 512