Найдите наибольшее значение функции y = 93x - 89 sin x + 31 на отрезке [-π/2; 0].

Решение:

Дана функция \( y = 93x - 89 \sin x + 31 \) на отрезке \( [-\frac{\pi}{2}; 0] \).

Найдем производную функции:

\( y' = (93x - 89 \sin x + 31)' \)

\( y' = 93 - 89 \cos x \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 93 - 89 \cos x = 0 \)

\( 89 \cos x = 93 \)

\( \cos x = \frac{93}{89} \)

Поскольку \( \frac{93}{89} > 1 \) (так как \( 93 > 89 \)), и область значений косинуса \( [-1; 1] \), данное уравнение не имеет решений. Это означает, что производная \( y' \) не равна нулю ни в одной точке.

Теперь определим знак производной на заданном отрезке \( [-\frac{\pi}{2}; 0] \).

Для \( x \) на отрезке \( [-\frac{\pi}{2}; 0] \) значение \( \cos x \) находится в промежутке \( (0; 1] \) (так как \( \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0 \) и \( \cos(0) = 1 \)).

Следовательно, \( 89 \cos x \) будет находиться в промежутке \( (0; 89] \).

Тогда \( y' = 93 - 89 \cos x \) будет находиться в промежутке \( (93 - 89; 93 - 0) \), то есть \( (4; 93) \).

Таким образом, производная \( y' \) положительна на всём отрезке \( [-\frac{\pi}{2}; 0] \) (\( y' > 0 \)).

Если производная положительна, то функция возрастает на этом отрезке.

Наибольшее значение функции будет достигаться на правом конце отрезка, то есть при \( x = 0 \).

Вычислим значение функции при \( x = 0 \):

\( y(0) = 93 0 - 89 \sin 0 + 31 \)

\( y(0) = 0 - 89 0 + 31 \)

\( y(0) = 31 \)

Для полноты, вычислим значение функции на левом конце отрезка \( x = -\frac{\pi}{2} \):

\( y(-\frac{\pi}{2}) = 93(-\frac{\pi}{2}) - 89 \sin(-\frac{\pi}{2}) + 31 \)

\( y(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{93\pi}{2} - 89(-1) + 31 \)

\( y(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{93\pi}{2} + 89 + 31 \)

\( y(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{93\pi}{2} + 120 \)

Поскольку \( \pi ≈ 3.14 \), \( \frac{93\pi}{2} ≈ \frac{93 3.14}{2} ≈ \frac{291.72}{2} ≈ 145.86 \).

\( y(-\frac{\pi}{2}) ≈ -145.86 + 120 = -25.86 \).

Очевидно, что \( 31 > -25.86 \).

Ответ: 31.