Найдите корень уравнения (1/7)^(x+4) = 49.

Задание 1. Решение уравнения

Дано: уравнение \( \left(\frac{1}{7}\right)^{x+4} = 49 \).

Найти: корень уравнения.

Решение:

1. Для начала, представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием. Заметим, что \( \frac{1}{7} = 7^{-1} \) и \( 49 = 7^2 \).
2. Подставим эти значения в исходное уравнение: \[ (7^{-1})^{x+4} = 7^2 \]
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \[ 7^{-1 \cdot (x+4)} = 7^2 \]
4. Упростим показатель степени: \[ 7^{-(x+4)} = 7^2 \]
5. Так как основания степеней равны, приравниваем показатели: \[ -(x+4) = 2 \]
6. Раскроем скобки: \[ -x - 4 = 2 \]
7. Перенесём -4 в правую часть уравнения, изменив знак: \[ -x = 2 + 4 \]
8. Вычислим: \[ -x = 6 \]
9. Умножим обе части на -1, чтобы найти \( x \): \[ x = -6 \]

Проверка:

Подставим \( x = -6 \) в исходное уравнение:

\( \left(\frac{1}{7}\right)^{-6+4} = \left(\frac{1}{7}\right)^{-2} = (7^{-1})^{-2} = 7^{(-1) \cdot (-2)} = 7^2 = 49 \).

Равенство верно.

Ответ: x = -6.