5.383 Найдите количество чётных пятизначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 4, 7, 8, 9. Есть ли среди них числа, кратные пяти; девяти?

Алгоритм решения:

1. Пятизначное число не может начинаться с нуля.
2. Число должно быть четным, следовательно, оно должно оканчиваться на четную цифру (0, 4, 8).
3. Проанализируем условие кратности пяти и девяти.

Решение:

Количество пятизначных чисел:

На первом месте может стоять любая цифра, кроме 0, то есть 5 вариантов (1, 4, 7, 8, 9). На последнем месте должна стоять четная цифра, то есть 3 варианта (0, 4, 8). На остальных трех местах может стоять любая из 6 цифр. Таким образом, количество четных пятизначных чисел равно $$5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 3 = 3240$$.

Числа, кратные пяти:

Чтобы число было кратно пяти, оно должно оканчиваться на 0 или 5. В данном наборе цифр есть 0, но нет 5. Следовательно, если число четное и кратно пяти, то оно должно оканчиваться на 0. Количество таких чисел: на первом месте может стоять любая цифра, кроме 0, то есть 5 вариантов (1, 4, 7, 8, 9). На последнем месте стоит 0. На остальных трех местах может стоять любая из 6 цифр. Таким образом, количество четных пятизначных чисел, кратных пяти, равно $$5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 1 = 1080$$.

Числа, кратные девяти:

Чтобы число было кратно девяти, сумма его цифр должна быть кратна девяти. Цифры: 0, 1, 4, 7, 8, 9. Необходимо проверить, можно ли составить пятизначное число, используя эти цифры, чтобы сумма цифр была кратна 9. Например, число 14499 имеет сумму цифр 27, что кратно 9. Но это число нечетное. Рассмотрим четное число: 18999 имеет сумму цифр 36, что кратно 9. Но в нашем наборе нет двух девяток. Число 47799 - сумма 36, кратно 9, но нечетное. Число 48999 - сумма 39, не кратно 9. Надо подобрать 5 цифр из данного набора, чтоб сумма была кратна 9 и последняя цифра была четной. Например, 14894 - сумма цифр 26, не кратно 9. Например, 78840 - сумма цифр 27, кратно 9, четное. Таким образом, среди четных пятизначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 4, 7, 8, 9, есть числа, кратные девяти.

Ответ: 3240 четных пятизначных чисел; есть числа, кратные пяти; есть числа, кратные девяти