Решение задачи 16

Пусть дана прямая, на которой отмечены точки A и B, так что длина отрезка AB равна 8 см. Требуется найти все точки на этой прямой, для которых сумма расстояний до концов отрезка AB равна заданному значению.

1. Сумма расстояний равна 8 см.
• Точка лежит на отрезке AB. Пусть X - произвольная точка на отрезке AB, тогда AX + BX = AB = 8 см. Значит, решением является любой X, принадлежащий отрезку AB.
2. Сумма расстояний равна 10 см.
• Точка лежит вне отрезка AB.
• Пусть X - точка вне отрезка AB.
• Если X лежит на прямой AB слева от A: XA + XB = 10, XB = XA + 8, 2XA + 8 = 10, XA = 1, XA = 1 см.
• Если X лежит на прямой AB справа от B: XA + XB = 10, XA = XB + 8, 2XB + 8 = 10, XB = 1, XB = 1 см.
• Итак, есть две точки, лежащие на расстоянии 1 см от концов отрезка AB.
3. Сумма расстояний равна 7 см.
• Таких точек не существует, так как минимальное значение суммы расстояний до концов отрезка равно длине этого отрезка, то есть 8 см.

Ответ:

1. Все точки на отрезке AB.
2. Две точки, находящиеся на расстоянии 1 см от концов отрезка AB.
3. Таких точек не существует.