На стороне АС треугольника АВС выбраны точки Д и Е так, что отрезки AD и СЕ равны (см. рис.). Оказалось, что углы АЕВ и BDC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники BDC и AEB:

1) AD = CE (по условию)

2) ∠AEB = ∠BDC (по условию)

3) ∠EAB = ∠BCA, так как ∠EAB и ∠DAC составляют развернутый угол, и ∠DAC = ∠BCA (по условию).

Если два угла и сторона между ними одного треугольника соответственно равны двум углам и стороне между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, треугольники BDC и AEB равны по второму признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что AB = BC.

Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным.

Следовательно, треугольник АВС – равнобедренный.