4. На стороне АС треугольника АВС отметили точку Е так, что АЕ: СЕ = 2 : 7. Через точку Е провели прямую, которая параллельна стороне АВ треугольника и пересекает сторону ВС в точке F. Найди- те сторону АВ, если EF = 21 см.

Дано: AE : CE = 2 : 7, EF || AB, EF = 21 см.

Найти: AB.

Решение:

Пусть AE = 2x, CE = 7x, тогда AC = AE + CE = 2x + 7x = 9x.

Т.к. EF || AB, то \(\triangle ABC \sim \triangle EFC\) по двум углам (\(\angle C\) - общий, \(\angle BAC = \angle FEC\) как соответственные при параллельных прямых AB и EF и секущей AC).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$$\frac{EF}{AB} = \frac{EC}{AC}$$

$$\frac{21}{AB} = \frac{7x}{9x}$$

$$\frac{21}{AB} = \frac{7}{9}$$

$$AB = \frac{21 \cdot 9}{7} = 3 \cdot 9 = 27 \text{ см}$$

Ответ: AB = 27 см