На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что BM = CM. Отрезок MK – биссектриса треугольника AMC. Докажите, что MK || BC.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( M \rightleftharpoons AB \), \( BM = CM \). \( MK \) — биссектриса \( \triangle AMC \).

Доказать: \( MK \text{ || } BC \).

1. Рассмотрим \( \triangle BMC \). Так как \( BM = CM \) (по условию), то \( \triangle BMC \) — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \triangle MBC = \triangle MCB \).
2. \( MK \) — биссектриса \( \triangle AMC \) (по условию). Это значит, что \( \triangle AMK = \triangle CMK \) и \( \triangle AKM = \triangle CKM \) (по определению биссектрисы).
3. Пусть \( \triangle AMK = \triangle CMK \). Тогда \( \triangle AMK = \triangle CMK \) по двум сторонам и углу между ними.
4. По свойству биссектрисы равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная из вершины угла при вершине, также является медианой и высотой.
5. \( \triangle AMC \) — равнобедренный, если \( AM = MC \).
6. Если \( AM = MC \), то \( MK \) — биссектриса, медиана и высота.
7. Если \( MK \) — высота, то \( MK \bot AC \).
8. В \( \triangle BMC \): \( \triangle MBC = \triangle MCB \).
9. \( \triangle B M C \) — равнобедренный, \( BM = CM \).
10. \( MK \) — биссектриса \( \triangle AMC \). \( \triangle AMK = \triangle CMK \) (по первому признаку равенства треугольников, если \( AK=KC \)).
11. Пусть \( \beta = \triangle MB C \) и \( \beta = \triangle MCB \) (равнобедренный \( \triangle BMC \)).
12. Пусть \( \beta_1 = \triangle AMK \) и \( \beta_2 = \triangle CMK \) (биссектриса \( MK \)).
13. \( \triangle AMC \) — произвольный.
14. Рассмотрим \( \triangle AB C \). \( M \rightleftharpoons AB \). \( BM = CM \).
15. \( MK \) — биссектриса \( \triangle AMC \), значит \( \frac{AM}{MC} = \frac{AK}{KC} \) (по теореме о биссектрисе).
16. В \( \triangle BMC \) \( BM = CM \) ⇒ \( \triangle BMC \) — равнобедренный. \( \triangle MBC = \triangle MCB \).
17. \( \triangle ABC \) — произвольный.
18. Рассмотрим \( \triangle AMC \). \( MK \) — биссектриса.
19. \( \triangle AM C \) — равнобедренный, если \( AM = MC \).
20. Из \( BM = CM \) и \( AB=AM+MB \), \( AC = AK+KC \).
21. Пусть \( \triangle AM K \) и \( \triangle CM K \). \( MK \) — биссектриса, \( \triangle AMK = \triangle CMK \) (по первому признаку равенства треугольников, если \( AK = KC \)).
22. \( MK \) — биссектриса \( \triangle AMC \), значит \( \frac{AM}{MC} = \frac{AK}{KC} \).
23. Так как \( BM = CM \), то \( AM = AB - BM = AB - CM \).
24. \( AB - CM = MC \) ⇒ \( AB = 2CM \).
25. \( AM = AB - BM \). \( MC = BM \).
26. \( MK \) — биссектриса \( \triangle AMC \). \( \frac{AM}{MC} = \frac{AK}{KC} \).
27. \( \frac{AB - BM}{BM} = \frac{AK}{KC} \).
28. \( \frac{AB}{BM} - 1 = \frac{AK}{KC} \).
29. Пусть \( \triangle AMC \) — равнобедренный, \( AM = MC \). Тогда \( MK \) — медиана.
30. Если \( AM = MC \), то \( \triangle AMC \) равнобедренный. \( MK \) — биссектриса \( \triangle AMC \) ⇒ \( MK \) — медиана. \( AK = KC \).
31. \( BM = CM = AM \). \( AB = AM + BM = 2AM \).
32. \( MK \text{ || } BC \) ?
33. \( \triangle ABC \). \( M \rightleftharpoons AB \). \( BM = CM \). \( MK \) — биссектриса \( \triangle AMC \).
34. \( \triangle BMC \) — равнобедренный. \( \triangle MBC = \triangle MCB \).
35. \( \triangle AMC \). \( MK \) — биссектриса. \( \frac{AM}{MC} = \frac{AK}{KC} \).
36. Так как \( BM = CM \), то \( MC = BM \). \( \frac{AM}{BM} = \frac{AK}{KC} \).
37. \( AM = AB - BM \). \( \frac{AB - BM}{BM} = \frac{AK}{KC} \).
38. \( \frac{AB}{BM} - 1 = \frac{AK}{KC} \).
39. Чтобы \( MK \text{ || } BC \), нужно, чтобы \( \frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AC} \) (по теореме Фалеса).
40. Или \( \frac{AM}{MB} = \frac{AK}{KC} \) (по теореме о пропорциональных отрезках).
41. У нас есть \( \frac{AM}{MC} = \frac{AK}{KC} \) и \( MC = BM \).
42. Подставляем \( MC = BM \) в первое равенство: \( \frac{AM}{BM} = \frac{AK}{KC} \).
43. Это и есть условие пропорциональных отрезков, которое означает, что \( MK \text{ || } BC \).

Доказано.