5. На рисунке PN=NT, РК — биссектриса угла МРT, <NPT=70', ∠PKM=55°. Докажите, что прямые РТ и МК параллельны. Найдите угол РКТ.

Т.к. PN = NT, то треугольник PNT - равнобедренный, и ∠NPT = ∠NTP = 70°.

Тогда ∠PNT = 180° - ∠NPT - ∠NTP = 180° - 70° - 70° = 40°.

∠MPT = 2 * ∠NPT = 2 * 70° = 140° (т.к. РК - биссектриса ∠МРТ).

∠PTM = (180° - ∠MPT) / 2 = (180° - 140°) / 2 = 40° / 2 = 20° (т.к. треугольник равнобедренный).

∠PKM = 55° (дано).

∠PKT = ∠PKM - ∠MKT = 55° - ∠MKT.

Чтобы доказать, что прямые РТ и МК параллельны, нужно доказать, что ∠PTM = ∠PKM как внутренние накрест лежащие углы.

Если ∠PTM = ∠PKM, то ∠PTM = ∠PKT.

∠PKT = ∠PTM = 20°.

∠PKM = ∠PKT + ∠TKM

55° = 20° + ∠TKM

∠TKM = 35°.

PT || MK, т.к. ∠PTM = ∠TKM.

Ответ: ∠PKT = 20°.