5. На рисунке PN=NT, РК – биссектриса угла МРТ, ∠NPT=70°, ∠PKM=55°. Докажите, что прямые РТ и МК параллельны. Найдите угол РКТ.

1. Так как PN=NT, то треугольник PNT - равнобедренный, а значит, ∠PNТ = ∠NРT = 70°. 2. ∠PTN = 180° - ∠NPT - ∠PNT = 180° - 70° - 70° = 40°. 3. ∠MPT = ∠NPT + ∠TPN = 70° + 40° = 110°. 4. РК - биссектриса угла МРТ, следовательно, ∠MPK = ∠TPK = ∠MPT / 2 = 110° / 2 = 55°. 5. ∠PKM = 55° по условию. 6. Следовательно, ∠TPK = ∠PKM = 55°. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых РТ и МК и секущей РК. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, РТ || МК. 7. ∠РКТ = 180° - ∠PKM = 180° - 55° = 125° (как смежные углы).