На рисунке изображён график y = f'(x) производной функции, определённой на интервале (-2; 12). Пользуясь рисунком, найдите абсциссу точки, в которой функция f(x) принимает наибольшее значение.

Решение:

Для того чтобы найти точку, в которой функция $$f(x)$$ принимает наибольшее значение, нам нужно найти точки, где производная $$f'(x)$$ меняет свой знак с "плюса" на "минус". На графике это соответствует точкам максимума функции $$f(x)$$.

1. Анализ графика производной $$f'(x)$$:
   • Производная $$f'(x)$$ положительна (график выше оси $$x$$) на интервалах $$ (-2; -1) $$, $$ (1; 7) $$. На этих интервалах функция $$f(x)$$ возрастает.
   • Производная $$f'(x)$$ отрицательна (график ниже оси $$x$$) на интервалах $$ (-1; 1) $$, $$ (7; 12) $$. На этих интервалах функция $$f(x)$$ убывает.
2. Поиск точек максимума: Максимумы функции $$f(x)$$ находятся там, где производная $$f'(x)$$ меняет знак с "+" на "-". Это происходит в точках:
   • $$x = -1$$ (где $$f'(x)$$ переходит от положительного значения к отрицательному)
   • $$x = 7$$ (где $$f'(x)$$ переходит от положительного значения к отрицательному)
3. Сравнение значений функции в точках максимума: Нам нужно найти абсциссу точки, в которой функция $$f(x)$$ принимает наибольшее значение. Для этого сравним значения функции в точках локальных максимумов, а также учтем границы интервала.
4. Анализ графика: Мы видим, что на интервале $$ (-2; 12) $$ пик функции $$f(x)$$ (соответствующий максимуму) достигается при $$x=7$$. График $$f'(x)$$ показывает, что до $$x=7$$ функция $$f(x)$$ возрастала, а после $$x=7$$ начала убывать. Хотя $$x=-1$$ также является точкой максимума, значение функции в точке $$x=7$$ будет больше.

Ответ: 7