5. На рисунке ABCD – прямоугольник, CH⊥BD, сторона АВ в 3 раза меньше диагонали. Найдите СН, если ВС = 20.

Пусть ( AB = x ), тогда диагональ ( BD = 3x ). Так как ( ABCD ) - прямоугольник, то ( AB^2 + BC^2 = BD^2 ) (по теореме Пифагора).

$$ x^2 + 20^2 = (3x)^2$$ $$ x^2 + 400 = 9x^2$$ $$ 8x^2 = 400$$ $$ x^2 = 50$$ $$ x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

Тогда ( AB = 5\sqrt{2} ) и ( BD = 3 \cdot 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2} ).

Площадь прямоугольника ( ABCD ) можно найти как ( S = AB \cdot BC = 5\sqrt{2} \cdot 20 = 100\sqrt{2} ).

С другой стороны, площадь треугольника ( BCD ) равна половине площади прямоугольника, то есть ( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 100\sqrt{2} = 50\sqrt{2} ).

Площадь треугольника ( BCD ) также можно выразить через ( BD ) и высоту ( CH ): ( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CH ).

$$ 50\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 15\sqrt{2} \cdot CH$$ $$ CH = \frac{2 \cdot 50\sqrt{2}}{15\sqrt{2}} = \frac{100}{15} = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3} $$

Ответ: $$6 \frac{2}{3}$$