На рис. ABCD – ромб, BM ⊥ DC, ∠CBM = 24°. Найдите углы x и y.

Рассмотрим ромб ABCD. Дано, что BM перпендикулярна DC (BM ⊥ DC) и ∠CBM = 24°. Нужно найти углы x и y.

1. В ромбе все стороны равны, значит BC = CD. Так как BM ⊥ DC, то ∠BMC = 90°.

2. Рассмотрим треугольник BCM. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно:

$$ ∠BCM + ∠CBM + ∠BMC = 180° $$ $$ ∠BCM + 24° + 90° = 180° $$ $$ ∠BCM = 180° - 90° - 24° = 66° $$

3. В ромбе противоположные углы равны, значит ∠BAD = ∠BCD. Следовательно, ∠BCD = 66°.

4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Значит, диагональ AC делит угол ∠BCD пополам. Таким образом:

$$ x = \frac{∠BCD}{2} = \frac{66°}{2} = 33° $$

5. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°. Значит:

$$ ∠ADC = 180° - ∠BCD = 180° - 66° = 114° $$

6. Диагональ BD является биссектрисой угла ∠ADC. Следовательно:

$$ y = \frac{∠ADC}{2} = \frac{114°}{2} = 57° $$

Ответ: x = 33°, y = 57°.