3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К так, что ∠АВМ = ∠CBK, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = CK.

Рассмотрим треугольник ABC, он равнобедренный, значит углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.

Рассмотрим треугольники ABM и CBK:

1. AB = CB (т.к. ABC - равнобедренный)
2. ∠ABM = ∠CBK (по условию)
3. ∠BAM = ∠BCK (т.к. ∠BAC = ∠BCA)

Следовательно, треугольники ABM и CBK равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

В равных треугольниках соответственные стороны равны, значит AM = CK, что и требовалось доказать.