4. Известно, что АВ = AD и ВС = DC (рис. 45). Докажите, что BO = DO.

Рассмотрим треугольники ABC и ADC:

1. AB = AD (по условию)
2. BC = DC (по условию)
3. AC - общая сторона

Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), значит, ∠BAC = ∠DAC и ∠BCA = ∠DCA.

Рассмотрим треугольники ABO и ADO:

1. AB = AD (по условию)
2. ∠BAO = ∠DAO (т.к. ∠BAC = ∠DAC)
3. AO - общая сторона

Следовательно, треугольники ABO и ADO равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), значит, BO = DO, что и требовалось доказать.