948 На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек: а) А (-3; 5) и В (6; 4); б) С (4; -3) и D (8; 1).

а) A (-3; 5) и B (6; 4)

Пусть точка на оси ординат будет иметь координаты (0, y). Расстояние от этой точки до точки A и до точки B должно быть одинаковым.

$$d_A = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (5 - y)^2} = \sqrt{9 + (5 - y)^2}$$ $$d_B = \sqrt{(6 - 0)^2 + (4 - y)^2} = \sqrt{36 + (4 - y)^2}$$

Приравняем расстояния:

$$\sqrt{9 + (5 - y)^2} = \sqrt{36 + (4 - y)^2}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$9 + (5 - y)^2 = 36 + (4 - y)^2$$ $$9 + 25 - 10y + y^2 = 36 + 16 - 8y + y^2$$ $$34 - 10y = 52 - 8y$$

Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую:

$$-10y + 8y = 52 - 34$$ $$-2y = 18$$ $$y = -9$$

Точка (0, -9)

б) C (4; -3) и D (8; 1)

Пусть точка на оси ординат будет иметь координаты (0, y). Расстояние от этой точки до точки C и до точки D должно быть одинаковым.

$$d_C = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-3 - y)^2} = \sqrt{16 + (-3 - y)^2}$$ $$d_D = \sqrt{(8 - 0)^2 + (1 - y)^2} = \sqrt{64 + (1 - y)^2}$$

Приравняем расстояния:

$$\sqrt{16 + (-3 - y)^2} = \sqrt{64 + (1 - y)^2}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$16 + (-3 - y)^2 = 64 + (1 - y)^2$$ $$16 + 9 + 6y + y^2 = 64 + 1 - 2y + y^2$$ $$25 + 6y = 65 - 2y$$

Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую:

$$6y + 2y = 65 - 25$$ $$8y = 40$$ $$y = 5$$

Точка (0, 5)

Ответ: а) (0; -9), б) (0; 5)