949 На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек: а) А (1; 2) и В (−3; 4); б) С (1; 1) и D (3; 5).

а) А (1; 2) и В (−3; 4)

Пусть точка на оси абсцисс имеет координаты (x, 0). Расстояния от этой точки до точек А и В должны быть равны.

$$d_A = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 4}$$ $$d_B = \sqrt{(x - (-3))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + 16}$$

Приравняем расстояния:

$$\sqrt{(x - 1)^2 + 4} = \sqrt{(x + 3)^2 + 16}$$

Возведем в квадрат обе части:

$$(x - 1)^2 + 4 = (x + 3)^2 + 16$$ $$x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 + 6x + 9 + 16$$ $$x^2 - 2x + 5 = x^2 + 6x + 25$$

Упростим уравнение:

$$-2x + 5 = 6x + 25$$ $$-8x = 20$$ $$x = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$$

Точка (-2.5, 0)

б) С (1; 1) и D (3; 5)

Пусть точка на оси абсцисс имеет координаты (x, 0). Расстояния от этой точки до точек С и D должны быть равны.

$$d_C = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 1}$$ $$d_D = \sqrt{(x - 3)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + 25}$$

Приравняем расстояния:

$$\sqrt{(x - 1)^2 + 1} = \sqrt{(x - 3)^2 + 25}$$

Возведем в квадрат обе части:

$$(x - 1)^2 + 1 = (x - 3)^2 + 25$$ $$x^2 - 2x + 1 + 1 = x^2 - 6x + 9 + 25$$ $$x^2 - 2x + 2 = x^2 - 6x + 34$$

Упростим уравнение:

$$-2x + 2 = -6x + 34$$ $$4x = 32$$ $$x = 8$$

Точка (8, 0)

Ответ: а) (-2.5; 0), б) (8; 0)