199 На окружности с центром О выбрана точка А. Из этой окружности выбира случайную точку Х. Найдите вероятность того, что угол АОХ: а) меньше 90°; б) больше 120°; в) находится в пределах от 30° до 60°.

Рассмотрим окружность с центром O и точкой A на ней. Выбираем случайную точку X на окружности.

а) Вероятность того, что угол AOX меньше 90°:

Чтобы угол AOX был меньше 90°, точка X должна находиться на дуге, соответствующей углу 90°. Длина этой дуги составляет 1/4 от длины всей окружности. Таким образом, вероятность того, что угол AOX меньше 90°, равна отношению длины этой дуги к длине всей окружности.

$$P(∠AOX < 90°) = \frac{90°}{360°} = \frac{1}{4}$$

б) Вероятность того, что угол AOX больше 120°:

Чтобы угол AOX был больше 120°, точка X должна находиться на дуге, соответствующей углу 360° - 120° = 240°. Вероятность того, что угол AOX больше 120°, равна отношению длины этой дуги к длине всей окружности.

$$P(∠AOX > 120°) = \frac{240°}{360°} = \frac{2}{3}$$

в) Вероятность того, что угол AOX находится в пределах от 30° до 60°:

Чтобы угол AOX находился в пределах от 30° до 60°, точка X должна находиться на дуге, соответствующей углу 60° - 30° = 30°. Вероятность того, что угол AOX находится в этих пределах, равна отношению длины этой дуги к длине всей окружности.

$$P(30° \le ∠AOX \le 60°) = \frac{30°}{360°} = \frac{1}{12}$$

Ответ:

1. а) 1/4
2. б) 2/3
3. в) 1/12