Решение задачи 198

Углы AOB и COD вертикальные, следовательно, ∠AOB = ∠COD = 60°. Точка C лежит на луче AO, поэтому луч AO и луч OC совпадают. Из окружности с центром в точке O случайным образом выбирают точку X.

а) Необходимо найти вероятность того, что точка X лежит внутри хотя бы одного из углов BOC или AOD.

Угол BOC - смежный с углом AOB, следовательно, ∠BOC = 180° - ∠AOB = 180° - 60° = 120°.

Вероятность того, что точка X лежит внутри угла BOC, равна отношению градусной меры угла BOC к полной градусной мере окружности (360°):

$$P(X \in BOC) = \frac{∠BOC}{360°} = \frac{120°}{360°} = \frac{1}{3}$$

Вероятность того, что точка X лежит внутри угла AOD, равна отношению градусной меры угла AOD к полной градусной мере окружности (360°). Угол AOD смежный с углом AOB, значит, ∠AOD = 180° - ∠AOB = 180° - 60° = 120°.

$$P(X \in AOD) = \frac{∠AOD}{360°} = \frac{120°}{360°} = \frac{1}{3}$$

Так как углы BOC и AOD не пересекаются, вероятность того, что точка X лежит внутри хотя бы одного из них равна сумме вероятностей:

$$P(X \in BOC \text{ или } AOD) = P(X \in BOC) + P(X \in AOD) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Ответ: a) $$\frac{2}{3}$$

б) Необходимо найти вероятность того, что точка X лежит внутри угла DOC.

∠DOC = ∠AOB = 60° (как вертикальные). Вероятность того, что точка X лежит внутри угла DOC, равна отношению градусной меры угла DOC к полной градусной мере окружности (360°):

$$P(X \in DOC) = \frac{∠DOC}{360°} = \frac{60°}{360°} = \frac{1}{6}$$

Ответ: б) $$\frac{1}{6}$$