На координатной плоскости постройте отрезок DE и прямую MN, если D(0;-5), E(7;2), M(-6;1), N(6;-5). Запишите координаты точек пересечения отрезка DE и прямой MN.

Решение:

1. Построение отрезка DE:

Отмечаем точки D(0;-5) и E(7;2) на координатной плоскости и соединяем их отрезком.

2. Построение прямой MN:

Отмечаем точки M(-6;1) и N(6;-5) на координатной плоскости и проводим через них прямую.

3. Нахождение точек пересечения:

Сначала найдём уравнение прямой MN.

Уравнение прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \), имеет вид: \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \).

Используем точки M(-6;1) и N(6;-5):

\[ \frac{x - (-6)}{6 - (-6)} = \frac{y - 1}{-5 - 1} \]

\[ \frac{x + 6}{12} = \frac{y - 1}{-6} \]

\[ -6(x + 6) = 12(y - 1) \]

\[ -6x - 36 = 12y - 12 \]

\[ 12y = -6x - 36 + 12 \]

\[ 12y = -6x - 24 \]

\[ y = \frac{-6x - 24}{12} \]

\[ y = -\frac{1}{2}x - 2 \]

Теперь найдём уравнение прямой, проходящей через точки D(0;-5) и E(7;2).

\[ \frac{x - 0}{7 - 0} = \frac{y - (-5)}{2 - (-5)} \]

\[ \frac{x}{7} = \frac{y + 5}{7} \]

\[ 7x = 7(y + 5) \]

\[ x = y + 5 \]

\[ y = x - 5 \]

Теперь приравняем уравнения прямых MN и DE, чтобы найти точку их пересечения:

\[ -\frac{1}{2}x - 2 = x - 5 \]

\[ -2 + 5 = x + \frac{1}{2}x \]

\[ 3 = \frac{3}{2}x \]

\[ x = 3 \cdot \frac{2}{3} \]

\[ x = 2 \]

Подставим \( x = 2 \) в уравнение прямой DE, чтобы найти \( y \):

\[ y = 2 - 5 \]

\[ y = -3 \]

Точка пересечения прямых MN и DE — \( (2;-3) \).

Проверим, лежит ли эта точка на отрезке DE. Для отрезка DE \( x \) должен быть в пределах от 0 до 7, а \( y \) — от -5 до 2. Точка \( (2;-3) \) удовлетворяет этим условиям, значит, она лежит на отрезке DE.

Ответ: Координаты точки пересечения отрезка DE и прямой MN: \( (2; -3) \).