На координатной плоскости построен квадрат ABCD. Известны координаты его вершин A(3;-1) и B(-2;-1). Найдите координаты вершин C и Д.

Решение:

Точки A(3;-1) и B(-2;-1) имеют одинаковую ординату \( y = -1 \), значит, сторона AB параллельна оси абсцисс.

Длина стороны AB:

\( |x_A - x_B| = |3 - (-2)| = |3 + 2| = 5 \) единиц.

Так как ABCD — квадрат, длина всех сторон равна 5.

Сторона BC будет перпендикулярна AB, то есть параллельна оси ординат.

Координата x точки C будет такой же, как у точки B, а координата y изменится на длину стороны.

Так как AB горизонтальна, BC будет вертикальна. Координата x точки C будет равна координате x точки B, а координата y изменится.

Координата x точки C = \( x_B = -2 \).

Координата y точки C = \( y_B \pm 5 \).

Есть два возможных варианта для C:

Вариант 1: C(-2; -1 + 5) = C(-2; 4).

Тогда D будет иметь координату x как у A и координату y как у C.

D(3; 4).

Вариант 2: C(-2; -1 - 5) = C(-2; -6).

Тогда D будет иметь координату x как у A и координату y как у C.

D(3; -6).

Проверим, что AB = 5, BC = 5, CD = 5, DA = 5.

Для первого варианта:

A(3;-1), B(-2;-1), C(-2;4), D(3;4)

AB = \( |3 - (-2)| = 5 \)

BC = \( |-1 - 4| = 5 \)

CD = \( |4 - 4| = 0 \)

CD = \( |-2 - 3| = 5 \)

DA = \( |-1 - 4| = 5 \)

Это похоже на прямоугольник. Для квадрата все стороны равны.

Если AB горизонтальна, то BC будет вертикальна.

Координата x точки C будет равна координате x точки B (-2).

Координата y точки C будет \( y_B \pm 5 = -1 \pm 5 \).

Следовательно, C может быть (-2; 4) или (-2; -6).

Если C(-2; 4), то D будет иметь x-координату как у A (3) и y-координату как у C (4). D(3; 4).

Если C(-2; -6), то D будет иметь x-координату как у A (3) и y-координату как у C (-6). D(3; -6).

Ответ: Координаты вершин C и Д могут быть C(-2; 4) и Д(3; 4) или C(-2; -6) и Д(3; -6).