Меньшая сторона прямоугольника равна 15 см, острый угол между диагоналями равен 60°. Найти радиус окружности, описанной около прямоугольника.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим вершины прямоугольника как А, В, С, D, а точку пересечения диагоналей как О. Меньшая сторона, например, AB = 15 см.

Рассмотрим треугольник АОВ. Так как диагонали равны, то OA = OB. Следовательно, треугольник АОВ — равнобедренный.

Угол между диагоналями \( \angle AOB = 60^{\circ} \).

Так как треугольник АОВ равнобедренный и угол при вершине равен \( 60^{\circ} \), то углы при основании равны: \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

Таким образом, треугольник АОВ — равносторонний. Следовательно, OA = OB = AB = 15 см.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине диагонали. Диагональ AC = OA + OC. Так как OC = OA (точка О делит диагонали пополам), то AC = 2 * OA.

Диагональ \( AC = 2 \times 15 \text{ см} = 30 \text{ см} \).

Радиус описанной окружности \( R = \frac{AC}{2} \).

\( R = \frac{30 \text{ см}}{2} = 15 \text{ см} \).

Ответ: 15см.