111 Медиана AD треугольника АВС продолжена за точку D на от- резок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С. а) Докажите, что △ABD = △ECD; б) найдите ∠ACE, если ∠ACD = 56°, ∠ABD=40°.

111.

а) Рассмотрим треугольники ABD и ECD. AD = DE (по условию), BD = DC (так как AD – медиана), ∠ADB = ∠EDC (как вертикальные). Следовательно, △ABD = △ECD по двум сторонам и углу между ними.

б) Так как △ABD = △ECD, то ∠ACE = ∠BAD. ∠ADC = 180° - (∠ACD + ∠CAD) = 180° - (56° + ∠CAD). ∠ADB = 180° - ∠ADC = 180° - (180° - (56° + ∠CAD)) = 56° + ∠CAD. Сумма углов треугольника ABD равна 180°, т.е. ∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°. Отсюда ∠BAD = 180° - ∠ABD - ∠ADB = 180° - 40° - (56° + ∠CAD) = 84° - ∠CAD. Имеем ∠ACE = ∠BAD = 84° - ∠CAD.

Ответ: ∠ACE = 84° - ∠CAD