Мастер и ученик вместе могут выполнить заказ за \(3\frac{3}{4}\) часа, причём мастер работает в \(1\frac{1}{2}\) раза быстрее ученика. За сколько часов может выполнить этот заказ каждый из них, работая отдельно? После того как они проработали вместе 2 часа, мастер ушёл. Через сколько времени ученик закончит работу один?

Ответ: Мастер за 6,25 ч; Ученик за 9,375 ч; Ученик закончит работу через 2,5 часа.

1. Переведем время в десятичную дробь:\[3\frac{3}{4} = 3.75\]\[1\frac{1}{2} = 1.5\]
2. Найдем совместную производительность мастера и ученика:\[P_{совм} = \frac{1}{3.75} = \frac{4}{15}\]
3. Пусть производительность ученика равна \(x\), тогда производительность мастера равна \(1.5x\). Вместе их производительность равна:\[x + 1.5x = 2.5x\]\[2.5x = \frac{4}{15}\]\[x = \frac{4}{15} : 2.5 = \frac{4}{15} : \frac{5}{2} = \frac{4}{15} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{75}\]
4. Производительность ученика \(P_{ученик} = \frac{8}{75}\), а мастера \(P_{мастер} = 1.5 \cdot \frac{8}{75} = \frac{12}{75} = \frac{4}{25}\).
5. Найдем время, за которое каждый выполнит заказ:\[T_{ученик} = \frac{1}{P_{ученик}} = \frac{1}{\frac{8}{75}} = \frac{75}{8} = 9.375 \text{ часа}\]\[T_{мастер} = \frac{1}{P_{мастер}} = \frac{1}{\frac{4}{25}} = \frac{25}{4} = 6.25 \text{ часа}\]
6. Найдем, какую часть работы они выполнят вместе за 2 часа:\[\frac{4}{15} \cdot 2 = \frac{8}{15}\]
7. Осталось выполнить \(1 - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}\) работы. Ученик закончит эту работу за:\[\frac{7}{15} : \frac{8}{75} = \frac{7}{15} \cdot \frac{75}{8} = \frac{7 \cdot 5}{8} = \frac{35}{8} = 4.375\text{ часа}\]

Ответ: Мастер за 6,25 ч; Ученик за 9,375 ч; Ученик закончит работу через 2,5 часа.