Контрольная работа по теме «Системы уравнений с двумя переменными» Вариант 1 1. Решить графически систему уравнений xy=4, y=x+1

Решим графически систему уравнений:

$$xy = 4$$ $$y = x + 1$$

Выразим y из первого уравнения:

$$y = \frac{4}{x}$$

Построим графики функций $$y = \frac{4}{x}$$ (гипербола) и $$y = x + 1$$ (прямая) и найдем точки пересечения.

      |      |
      |      |    / \
------|------|---/---
      |      |  /    \
      |      | /      \
      |      |/        \

Из графика видно, что графики пересекаются в двух точках. Найдем координаты этих точек, решив систему уравнений аналитически:

$$\frac{4}{x} = x + 1$$ $$4 = x^2 + x$$ $$x^2 + x - 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$$ $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$$

Найдем значения y:

$$y_1 = x_1 + 1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} + 1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$$ $$y_2 = x_2 + 1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} + 1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$$

Таким образом, решением системы являются две точки:

$$(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}; \frac{1 + \sqrt{17}}{2})$$ $$(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}; \frac{1 - \sqrt{17}}{2})$$

Ответ: $$(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}; \frac{1 + \sqrt{17}}{2}), (\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}; \frac{1 - \sqrt{17}}{2})$$