Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 35 и 125. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Пусть \( a = 35 \) — один катет, \( c = 125 \) — гипотенуза прямоугольного треугольника.

Найдем второй катет \( b \) по теореме Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

\[ 35^2 + b^2 = 125^2 \]

\[ 1225 + b^2 = 15625 \]

\[ b^2 = 15625 - 1225 \]

\[ b^2 = 14400 \]

\[ b = \sqrt{14400} = 120 \]

Таким образом, катеты равны 35 и 120, а гипотенуза — 125.

Найдем площадь прямоугольного треугольника двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2}ab \)

2. Через гипотенузу и высоту, проведённую к ней (обозначим её \( h \)): \( S = \frac{1}{2}ch \)

Приравниваем площади:

\[ \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch \]

\[ ab = ch \]

\[ h = \frac{ab}{c} \]

Подставим значения:

\[ h = \frac{35 \cdot 120}{125} \]

Сократим дробь:

\[ h = \frac{35 \cdot 120}{125} = \frac{7 \cdot 5 \cdot 120}{25 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 120}{25} = \frac{7 \cdot 24 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 24}{5} = \frac{168}{5} \]

\[ h = 33.6 \]

Ответ: 33,6.