5. Катер прошел по течению реки 30 км и 24 км против течения за 9 ч. Чему равна собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

5. Пусть $$x$$ - собственная скорость катера (км/ч). Скорость течения реки - 3 км/ч.

Тогда скорость катера по течению реки равна $$(x+3)$$ км/ч, а против течения - $$(x-3)$$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению реки, равно $$\frac{30}{x+3}$$ ч, а время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{24}{x-3}$$ ч.

По условию задачи общее время, затраченное на весь путь, равно 9 ч.

Составим уравнение:

$$\frac{30}{x+3}+\frac{24}{x-3}=9$$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{30(x-3)+24(x+3)}{(x+3)(x-3)}=9$$ $$\frac{30x-90+24x+72}{x^2-9}=9$$ $$\frac{54x-18}{x^2-9}=9$$

Умножим обе части уравнения на $$x^2-9$$:

$$54x-18=9(x^2-9)$$ $$54x-18=9x^2-81$$

Перенесем все члены в одну сторону:

$$9x^2-54x-81+18=0$$ $$9x^2-54x-63=0$$

Разделим обе части уравнения на 9:

$$x^2-6x-7=0$$

Решим квадратное уравнение $$x^2-6x-7=0$$.

Для решения квадратного уравнения вида $$ax^2+bx+c=0$$ найдем дискриминант по формуле $$D=b^2-4ac$$. Если $$D>0$$, то уравнение имеет два корня, которые находятся по формуле $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$.

В нашем случае: $$a=1$$, $$b=-6$$, $$c=-7$$.

Найдем дискриминант:

$$D=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-7)=36+28=64$$

Так как $$D>0$$, то уравнение имеет два корня.

Найдем корни:

$$x_1=\frac{-(-6)+\sqrt{64}}{2\cdot1}=\frac{6+8}{2}=\frac{14}{2}=7$$ $$x_2=\frac{-(-6)-\sqrt{64}}{2\cdot1}=\frac{6-8}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$x=7$$ км/ч.

Ответ: 7 км/ч