4. Известно, что AB = AD и BC = DC (рис. 45). Докажите, что BO = DO.

Рассмотрим треугольники ABC и ADC.

1. AB = AD (по условию).
2. BC = DC (по условию).
3. AC – общая сторона.

Следовательно, ΔABC = ΔADC по трем сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠BAC = ∠DAC и ∠BCA = ∠DCA.

Рассмотрим треугольники ABO и ADO.

1. AB = AD (по условию).
2. ∠BAO = ∠DAO (так как ∠BAC = ∠DAC).
3. AO – общая сторона.

Следовательно, ΔABO = ΔADO по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть BO = DO.

Ответ: Доказано, что BO = DO.