3. Из 110 участников международной олимпиады английский язык знают 37 студентов, немецкий – 32, французский – 42, английский и немецкий – 11, английский и французский – 14, немецкий и французский – 8, все три языка знают 3 участника. Сколько участников международной олимпиады не знают ни одного из трех названных языков?

Решим задачу, используя принцип включения-исключения.

Пусть:

• A - множество участников, знающих английский язык. |A| = 37
• B - множество участников, знающих немецкий язык. |B| = 32
• C - множество участников, знающих французский язык. |C| = 42
• A ∩ B - множество участников, знающих английский и немецкий. |A ∩ B| = 11
• A ∩ C - множество участников, знающих английский и французский. |A ∩ C| = 14
• B ∩ C - множество участников, знающих немецкий и французский. |B ∩ C| = 8
• A ∩ B ∩ C - множество участников, знающих все три языка. |A ∩ B ∩ C| = 3

Всего участников: 110

Найдем количество участников, знающих хотя бы один язык: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

|A ∪ B ∪ C| = 37 + 32 + 42 - 11 - 14 - 8 + 3 = 81

Теперь найдем количество участников, не знающих ни один из этих языков: Общее количество - Количество знающих хотя бы один язык

110 - 81 = 29

Ответ: 29 участников не знают ни одного из трех языков.