2. Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет единица или двойка. Постройте дерево и найдите вероятность того, что это случится при втором, третьем или четвёртом броске.

Решение:

Пусть событие A - выпадение 1 или 2, тогда $$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$. Событие B - не выпадение 1 или 2, тогда $$P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$.

Найдем вероятность того, что 1 или 2 выпадет на втором, третьем или четвертом броске:

• На втором броске: $$P_2 = P(B) \cdot P(A) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$$
• На третьем броске: $$P_3 = P(B) \cdot P(B) \cdot P(A) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$$
• На четвертом броске: $$P_4 = P(B) \cdot P(B) \cdot P(B) \cdot P(A) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{81}$$

Тогда общая вероятность:

$$P = P_2 + P_3 + P_4 = \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} = \frac{18 + 12 + 8}{81} = \frac{38}{81}$$

Ответ: $$\frac{38}{81}$$