Глагол 'hate' (ненавидеть) может управляться как герундием, так и инфинитивом. В данном предложении речь идет о нежелании находиться в доме, когда погода хорошая. Герундий ('staying') здесь лучше передает идею состояния или процесса, который неприятен в таких обстоятельствах.
Примечание: 'Hate staying' означает нежелание находиться в каком-то состоянии или месте, в то время как 'hate to stay' может относиться к конкретному случаю. Поскольку предложение описывает общую неприязнь к пребыванию в доме при хорошей погоде, герундий подходит лучше.
Ответ: staying