HOMEP 2. Дана окружность с центром в точке О и касательная к ней ВС, где В - точка касания. Найдите \(\angle OAB\), если \(\angle BCA = 24^{\circ}\).

Решение:

1. Так как ВС — касательная к окружности, то радиус ОВ перпендикулярен касательной. Следовательно, \(\angle OBC = 90^{\circ}\).
2. \(\angle OBA = \angle OBC - \angle ABC\).
3. В треугольнике \( \triangle OAB \) ОА = ОВ (радиусы), значит, \( \triangle OAB \) — равнобедренный. Тогда \(\angle OAB = \angle OBA\).
4. В \( \triangle ABC \) сумма углов равна \( 180^{\circ}\): \(\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}\).
5. \(\angle BAC = \angle OAB\).
6. \(\angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle BCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 24^{\circ} = 66^{\circ}\).
7. \(\angle OBA = 90^{\circ} - \angle ABC = 90^{\circ} - 66^{\circ} = 24^{\circ}\).
8. Так как \(\angle OAB = \angle OBA\), то \(\angle OAB = 24^{\circ}\).

Ответ: \(\angle OAB = 24^{\circ}\).