3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17см, а разность длин катетов равна 7см. Найдите длину каждого катета прямоугольного треугольника.

Пусть x - длина одного катета, тогда x + 7 - длина другого катета.

По теореме Пифагора:

$$x^2 + (x+7)^2 = 17^2$$ $$x^2 + x^2 + 14x + 49 = 289$$ $$2x^2 + 14x - 240 = 0$$ $$x^2 + 7x - 120 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 49 + 480 = 529$$

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 23}{2} = \frac{-30}{2} = -15$$

Так как длина катета не может быть отрицательной, то x = 8.

Тогда длина другого катета: x + 7 = 8 + 7 = 15.

Ответ: 8 см, 15 см