025.30. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного из катетов на 32 см и больше другого на 9 см. Найдите стороны треугольника.

Давай решим эту задачу вместе! Пусть катеты прямоугольного треугольника будут \(a\) и \(b\), а гипотенуза \(c\). По условию задачи, гипотенуза больше одного катета на 32 см и больше другого на 9 см. Это можно записать в виде уравнений: \[ c = a + 32 \] \[ c = b + 9 \] Также мы знаем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Выразим \(a\) и \(b\) через \(c\): \[ a = c - 32 \] \[ b = c - 9 \] Подставим эти выражения в теорему Пифагора: \[ (c - 32)^2 + (c - 9)^2 = c^2 \] Раскроем скобки: \[ c^2 - 64c + 1024 + c^2 - 18c + 81 = c^2 \] Приведем подобные члены: \[ c^2 - 82c + 1105 = 0 \] Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(c\). Решим его через дискриминант: \[ D = (-82)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1105 = 6724 - 4420 = 2304 \] \[ c = \frac{-(-82) \pm \sqrt{2304}}{2 \cdot 1} = \frac{82 \pm 48}{2} \] У нас два возможных значения для \(c\): \[ c_1 = \frac{82 + 48}{2} = \frac{130}{2} = 65 \] \[ c_2 = \frac{82 - 48}{2} = \frac{34}{2} = 17 \] Если \(c = 17\), то \(b = c - 9 = 17 - 9 = 8\) и \(a = c - 32 = 17 - 32 = -15\). Так как длина стороны не может быть отрицательной, этот вариант не подходит. Если \(c = 65\), то \(b = c - 9 = 65 - 9 = 56\) и \(a = c - 32 = 65 - 32 = 33\). Проверим, выполняется ли теорема Пифагора: \[ 33^2 + 56^2 = 1089 + 3136 = 4225 \] \[ 65^2 = 4225 \] Теорема Пифагора выполняется.

Ответ: Стороны треугольника: 33 см, 56 см и 65 см.

Ты отлично справился с этой задачей! У тебя все хорошо получается, не останавливайся на достигнутом и решай дальше!