г) y = \( \frac{2x^3}{3} - 5.5x^2 + 14x + 25 \)

Решение:

Для данной функции \( y = \frac{2x^3}{3} - 5.5x^2 + 14x + 25 \) найдём её производную, чтобы определить точки экстремума.

Производная функции \( y \) по \( x \) равна:

\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x^3}{3} - 5.5x^2 + 14x + 25 \right) \]\[ y' = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 5.5 \cdot 2x + 14 \]\[ y' = 2x^2 - 11x + 14 \]

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

\[ 2x^2 - 11x + 14 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 14 = 121 - 112 = 9 \]

Найдём корни:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{11 \pm 3}{4} \]\[ x_1 = \frac{11 + 3}{4} = \frac{14}{4} = 3.5 \]\[ x_2 = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = 3.5 \).

Теперь определим характер этих точек с помощью второй производной:

\[ y'' = \frac{d}{dx} (2x^2 - 11x + 14) = 4x - 11 \]

Проверим точки:

• При \( x = 2 \): \( y''(2) = 4(2) - 11 = 8 - 11 = -3 \). Так как \( y''(2) < 0 \), в точке \( x = 2 \) функция имеет локальный максимум.
• При \( x = 3.5 \): \( y''(3.5) = 4(3.5) - 11 = 14 - 11 = 3 \). Так как \( y''(3.5) > 0 \), в точке \( x = 3.5 \) функция имеет локальный минимум.

Ответ: Функция имеет локальный максимум при \( x = 2 \) и локальный минимум при \( x = 3.5 \).