д) y = \( \frac{x^4}{4} - 27x + 11 \)

Решение:

Для данной функции \( y = \frac{x^4}{4} - 27x + 11 \) найдём её производную, чтобы определить точки экстремума.

Производная функции \( y \) по \( x \) равна:

\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^4}{4} - 27x + 11 \right) \]\[ y' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 27 \]\[ y' = x^3 - 27 \]

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

\[ x^3 - 27 = 0 \]\[ x^3 = 27 \]\[ x = \sqrt[3]{27} \]\[ x = 3 \]

Критическая точка: \( x = 3 \).

Теперь определим характер этой точки с помощью второй производной:

\[ y'' = \frac{d}{dx} (x^3 - 27) = 3x^2 \]

Проверим точку:

• При \( x = 3 \): \( y''(3) = 3(3)^2 = 3 \cdot 9 = 27 \). Так как \( y''(3) > 0 \), в точке \( x = 3 \) функция имеет локальный минимум.

Ответ: Функция имеет локальный минимум при \( x = 3 \).