e) y = \( 3x^5 - 5x^3 - 6 \)

Решение:

Для данной функции \( y = 3x^5 - 5x^3 - 6 \) найдём её производную, чтобы определить точки экстремума.

Производная функции \( y \) по \( x \) равна:

\[ y' = \frac{d}{dx} (3x^5 - 5x^3 - 6) \]\[ y' = 3 \cdot 5x^4 - 5 \cdot 3x^2 \]\[ y' = 15x^4 - 15x^2 \]

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

\[ 15x^4 - 15x^2 = 0 \]\[ 15x^2(x^2 - 1) = 0 \]

Отсюда получаем:

\[ 15x^2 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 1 = 0 \]\[ x^2 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 = 1 \]\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = \pm 1 \]

Критические точки: \( x = -1, x = 0, x = 1 \).

Теперь определим характер этих точек с помощью второй производной:

\[ y'' = \frac{d}{dx} (15x^4 - 15x^2) = 15 \cdot 4x^3 - 15 \cdot 2x \]\[ y'' = 60x^3 - 30x \]

Проверим точки:

• При \( x = -1 \): \( y''(-1) = 60(-1)^3 - 30(-1) = -60 + 30 = -30 \). Так как \( y''(-1) < 0 \), в точке \( x = -1 \) функция имеет локальный максимум.
• При \( x = 0 \): \( y''(0) = 60(0)^3 - 30(0) = 0 \). Вторая производная равна нулю, нужно использовать первую производную для определения характера точки.

Для \( x = 0 \):
Если \( x < 0 \) (например, \( x = -0.5 \)), то \( y' = 15(-0.5)^2((-0.5)^2 - 1) = 15(0.25)(0.25 - 1) = 3.75(-0.75) < 0 \).
Если \( x > 0 \) (например, \( x = 0.5 \)), то \( y' = 15(0.5)^2((0.5)^2 - 1) = 15(0.25)(0.25 - 1) = 3.75(-0.75) < 0 \).
Так как производная не меняет знак при переходе через \( x=0 \), то \( x=0 \) не является точкой экстремума.
• При \( x = 1 \): \( y''(1) = 60(1)^3 - 30(1) = 60 - 30 = 30 \). Так как \( y''(1) > 0 \), в точке \( x = 1 \) функция имеет локальный минимум.

Ответ: Функция имеет локальный максимум при \( x = -1 \) и локальный минимум при \( x = 1 \). Точка \( x = 0 \) не является точкой экстремума.