г) Решить неравенство: log₇(x - 1) ≤ log₇ 2 + log₇ 3.

Решение:

г) Решение неравенства: \( \log_7(x - 1) \le \log_7 2 + \log_7 3 \)

1. ОДЗ (Область допустимых значений):

Для логарифма аргумент должен быть строго больше нуля: \( x - 1 > 0 \implies x > 1 \).

2. Упрощение правой части неравенства:

Используем свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \):

\( \log_7 2 + \log_7 3 = \log_7 (2 \cdot 3) = \log_7 6 \).

3. Преобразование неравенства:

Теперь неравенство имеет вид: \( \log_7(x - 1) \le \log_7 6 \).

4. Решение неравенства:

Поскольку основание логарифма \( 7 > 1 \), функция \( y = \log_7 x \) является возрастающей. Следовательно, мы можем опустить знаки логарифма, сохранив знак неравенства:

\( x - 1 \le 6 \)

\( x \le 6 + 1 \)

\( x \le 7 \).

5. Учёт ОДЗ:

Мы получили два условия: \( x > 1 \) и \( x \le 7 \).

Объединяя их, получаем интервал:

\( 1 < x \le 7 \).

Ответ: \( (1; 7] \).