4.8. Если пружину растягивать силой F = 30 Н, ее длина будет равна L₁ = 28 см, а если сжимать силой F, то ее длина становится равной L₂ = 22 см. Найдите длину пружины L в недеформированном состоянии и коэффициент к жесткости пружины.

Для решения этой задачи нам понадобится закон Гука и понимание, как деформация пружины связана с приложенной силой.

1. Пусть $$L$$ - длина пружины в недеформированном состоянии, а $$k$$ - её коэффициент жесткости. Когда пружину растягивают силой $$F$$, её длина становится $$L_1 = L + x_1$$, где $$x_1$$ - удлинение пружины. Когда пружину сжимают силой $$F$$, её длина становится $$L_2 = L - x_2$$, где $$x_2$$ - сжатие пружины. Закон Гука: $$F = kx$$, где $$x$$ - величина деформации.
2. В нашем случае, когда пружину растягивают силой 30 Н, имеем: $$30 = k(L_1 - L)$$. Так как $$L_1 = 28 \,\text{см} = 0.28 \,\text{м}$$, то $$30 = k(0.28 - L)$$.
3. Когда пружину сжимают силой 30 Н, имеем: $$30 = k(L - L_2)$$. Так как $$L_2 = 22 \,\text{см} = 0.22 \,\text{м}$$, то $$30 = k(L - 0.22)$$.
4. Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными ($$L$$ и $$k$$): $$\begin{cases} 30 = k(0.28 - L) \\ 30 = k(L - 0.22) \end{cases}$$
5. Разделим первое уравнение на второе: $$\frac{k(0.28 - L)}{k(L - 0.22)} = \frac{30}{30} = 1$$. Сократим $$k$$ и решим уравнение: $$0.28 - L = L - 0.22$$. $$2L = 0.28 + 0.22 = 0.5$$. $$L = \frac{0.5}{2} = 0.25 \,\text{м} = 25 \,\text{см}$$.
6. Теперь подставим найденное значение $$L$$ в одно из уравнений, например во второе: $$30 = k(0.25 - 0.22)$$. $$30 = k(0.03)$$. $$k = \frac{30}{0.03} = 1000 \,\text{Н/м}$$.

Ответ: Длина пружины в недеформированном состоянии: 25 см, коэффициент жесткости пружины: 1000 Н/м