177. Две стороны прямоугольного треугольника равны 5 см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

Если даны два катета прямоугольного треугольника, то третья сторона (гипотенуза) определяется однозначно. Если дана гипотенуза и катет, то второй катет также определяется однозначно. Но если даны две стороны треугольника, то не известно, являются ли они катетами или гипотенузой и катетом. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Даны два катета: $$a = 5$$ см и $$b = 8$$ см. Тогда гипотенуза $$c$$:

$$c^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89$$

$$c = \sqrt{89}$$ см

Случай 2: Даны гипотенуза и катет: $$c = 8$$ см и $$a = 5$$ см. Тогда второй катет $$b$$:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

$$b^2 = c^2 - a^2 = 8^2 - 5^2 = 64 - 25 = 39$$

$$b = \sqrt{39}$$ см

Поскольку оба случая возможны, задача имеет два решения.

Ответ: $$ \sqrt{89}$$ см, $$\sqrt{39}$$ см; 2 решения