900 Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и А₁, а другую — в точках В и В₁. Докажите, что АА1 || ВВ1.

Доказательство: Пусть даны две окружности, касающиеся друг друга в точке M. Проведем две секущие через точку M, пересекающие первую окружность в точках A и \(A_1\), а вторую окружность в точках B и \(B_1\). Нам нужно доказать, что \(AA_1 \parallel BB_1\). Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Пусть t — общая касательная к обеим окружностям в точке M. Тогда: \(\angle TMA = \angle MA_1A\) (угол между касательной t и хордой MA равен вписанному углу \(MA_1A\)) \(\angle TMB = \angle MB_1B\) (угол между касательной t и хордой MB равен вписанному углу \(MB_1B\)) Так как углы TMA и TMB вертикальные, то \(\angle TMA = \angle TMB\). Значит, \(\angle MA_1A = \angle MB_1B\). Рассмотрим углы \(\angle AMA_1\) и \(\angle BMB_1\). Они также равны, так как вертикальные. Следовательно, треугольники \(MAA_1\) и \(MBB_1\) подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что \(\angle AA_1M = \angle BB_1M\). Эти углы являются соответственными углами при прямых \(AA_1\) и \(BB_1\) и секущей \(A_1B_1\). Так как соответственные углы равны, то \(AA_1 \parallel BB_1\).

Ответ: Доказано, что \(AA_1 \parallel BB_1\).