899 Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вневписанных окружностей с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).

Доказательство: Пусть дан треугольник ABC. Обозначим вневписанные окружности, касающиеся сторон BC, CA и AB, как \(O_A\), \(O_B\) и \(O_C\) соответственно. Пусть \(D\), \(E\) и \(F\) — точки касания этих окружностей со сторонами BC, CA и AB соответственно. Отрезки AD, BE и CF соединяют вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей. По теореме Чевы, отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство: \(\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1\) Известно, что если вневписанная окружность касается стороны BC в точке D, то BD = s - c и DC = s - b, где s — полупериметр треугольника, а b и c — длины сторон AC и AB соответственно. Аналогично, CE = s - a, EA = s - c, AF = s - b, FB = s - a. Подставим эти значения в теорему Чевы: \(\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = \frac{s-b}{s-a} \cdot \frac{s-c}{s-b} \cdot \frac{s-a}{s-c} = 1\) Поскольку равенство выполняется, отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Нагеля.

Ответ: Доказано, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вневписанных окружностей с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точке Нагеля).