2. Два угла треугольника равны 30° и 105°. Сторона, лежащая против угла 105°, равна 10, а периметр треугольника равен 22. Найдите меньшую сторону треугольника и радиус описанной около этого треугольника окружности

Пусть треугольник ABC, в котором ∠A = 30°, ∠B = 105°. Тогда ∠C = 180° - 30° - 105° = 45°.

Сторона, лежащая против угла 105°, равна 10, то есть AB = 10.

По теореме синусов, AC / sin(B) = AB / sin(C), откуда AC = AB * sin(B) / sin(C) = 10 * sin(105°) / sin(45°).

BC / sin(A) = AB / sin(C), откуда BC = AB * sin(A) / sin(C) = 10 * sin(30°) / sin(45°) = 10 * (1/2) / (√2 / 2) = 5 / (√2 / 2) = 5√2.

Периметр треугольника равен 22, то есть AB + AC + BC = 22, откуда 10 + AC + 5√2 = 22, следовательно AC = 12 - 5√2.

Сравним стороны AC и BC: AC = 12 - 5√2 ≈ 12 - 5 * 1.414 = 12 - 7.07 = 4.93, BC = 5√2 ≈ 5 * 1.414 = 7.07. Таким образом, AC < BC.

Меньшая сторона треугольника AC ≈ 4.93.

Чтобы найти радиус описанной окружности, воспользуемся теоремой синусов: R = AB / (2 * sin(C)) = 10 / (2 * sin(45°)) = 10 / (2 * (√2 / 2)) = 10 / √2 = 5√2.

Ответ: Меньшая сторона треугольника равна $$12 - 5\sqrt{2}$$, радиус описанной окружности равен $$5\sqrt{2}$$.